Aritmética, álgebra y topología de los números p-ádicos

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E.T.S. de Ingenieros Informáticos (UPM) 2024-05

Este trabajo de fin de grado investiga el ámbito de los números p-ádicos, un concepto fundamental en la teoría de números que extiende la aritmética de los números racionales. Introducidos por Kurt Hensel a finales del siglo XIX, los números p-ádicos proporcionan una representación única de las congruencias numéricas y tienen implicaciones en el análisis matemático y la topología. La introducción sienta las bases al discutir las motivaciones originales de Hensel y el desarrollo subsiguiente de los números p-ádicos, preparando el escenario para una exploración más profunda de sus propiedades y aplicaciones. El primer capítulo sustancial profundiza en los aspectos fundamentales de la aritmética p-ádica, incluyendo la Analogía de Hensel y sus implicaciones operativas. Esta sección explora cálculos básicos y la importancia de las congruencias módulo p n , mostrando cómo los números p-ádicos ofrecen una perspectiva diferente sobre la teoría de números. A través de ejemplos y cálculos detallados, este capítulo demuestra la computación práctica de los números p-ádicos, ofreciendo una clara comprensión de sus propiedades aritméticas. Basándose en las propiedades básicas, el siguiente capítulo explora los conceptos topológicos y algebraicos de los números p-ádicos a través de los valores absolutos y valuaciones. Discute tanto las valuaciones arquimedianas como no arquimedianas y conecta estos conceptos con las estructuras algebraicas de los números p-ádicos. Esta exploración revela las interconexiones profundas entre las propiedades algebraicas y la estructura topológica de los campos p-ádicos, subrayando la versatilidad y profundidad del análisis p-ádico. El enfoque luego se traslada a la construcción real de los números p-ádicos, detallando los procesos de definición de valores absolutos en Q y la compleción de estos valores para formar Qp. Este capítulo es crucial ya que ilustra la transición desde los conceptos teóricos hasta la implementación práctica de los números, en

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