Étude du formalisme multifractal pour les fonctions

The aim of this thesis is the multifractal analysis of selfsimilar functions and the study of the validity of the multifractal formalism. First, we determine the exact pointwise Hölder regularity for functions such that locally the graph is roughly a contraction of the global graph, modulo an error; then we compute the Hausdorff dimensions of the sets of points which have the same Hölder exponent; and finally we verify the conjectures of Frish and Parisi and the one of Arneodo, Bacry and Muzy, which relate these dimensions to some averaged quantities extracted from the function. We study different types of selfsimilarities, and prove (by reformuling some times) that the wavelet analysis is a good tool to study the validity of these relations. ; L'objet de cette thèse est l'analyse multifractale des fonctions autosimilaires et l'étude de la validité du formalisme multifractal. Il s'agit d'abord de déterminer la régularité Hölderienne ponctuelle exacte pour des fonctions dont le graphe localement est grossièrement une contraction du graphe complet, à une fonction erreur près ; ensuite de calculer les dimensions de Hausdorff des ensembles de points où la fonction présente la même singularité; et enfin de vérifier les conjectures de Frish et Parisi et celle d'Arneodo, Bacry et Muzy, qui relient ces dimensions à des quantités moyennes extraites de la fonction. Nous étudions plusieurs types d'autosimilarités, et montrons (en reformulant parfois) que l'analyse par ondelettes permet d'étudier la validité de ces relations.