Direkte und inverse Spektraltheorie von Sturm-Liouville Differentialoperatoren ; Direct and inverse spectral theory of Sturm-Liouville differential operators

Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers ; Diese Arbeit beschäftigt sich mit inverser Spektraltheorie von selbstadjungierten Sturm-Liouville Differentialoperatoren, induziert durch den gewöhnlichen Differentialausdruck zweiter Ordnung $-\frac{d 2}{dx 2}+q(x)$, im Hilbertraum $L 2(a,b)$. Dabei ist $(a,b)$ ein beschränktes oder unbeschränktes Intervall und $q$ eine lokal integrierbare, reellwertige Funktion auf $(a,b)$. Nach einigen allgemeinen Vorbereitungen über selbstadjungierte Sturm-Liouville Differentialoperatoren, entwickeln wir zunächst eine Spektraltheorie solcher Operatoren. Eine zentrale Rolle spielen dabei die Weyl-Titchmarsh $m$-Funktion und das zugehörige Spektralmaß. Inverse Spektraltheorie beschäftigt sich mit Problemen der Bestimmung und Rekonstruktion von Sturm-Liouville Operatoren anhand bestimmter Spektralgrößen, wie beispielsweise dem Spektrum, der Weyl-Titchmarsh $m$-Funktion oder des Spektralmaßes. Ein Hauptsatz dieser Arbeit ist ein lokaler Eindeutigkeitssatz für das inverse Problem von der Weyl-Titchmarsh $m$-Funktion. Er besagt, dass zwei selbstadjungierte Sturm-Liouville Operatoren lokal um einen Randpunkt übereinstimmen, falls sich die zugehörigen $m$-Funktionen asymptotisch ähnlich verhalten. Wir verwenden diesen Satz um sogenannte halbinverse Eindeutigkeitssätze für reguläre Sturm-Liouville Operatoren zu beweisen. Ein weiterer großer Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Lösbarkeit des inversen Problems vom Spektralmaß im regulären Fall. Insbesondere geben wir eine Charakterisierung aller möglichen Spektralmaße (und damit aller möglichen Spektren) von regulären, selbstadjungierten Sturm-Liouville Operatoren mit quadratisch integrierbarer Funktion $q$. ; This diploma thesis deals with inverse spectral theory of self-adjoint Sturm-Liouville differential operators, induced by the second-order ordinary differential expression $-\frac{d 2}{dx 2} + q(x)$ in the Hilbert space $L 2(a,b)$. Here $(a,b)$ is a bounded or unbounded interval and $q$ is a locally ...