On the number of Mather measures of Lagrangian systems

In 1996, Ricardo Ricardo Mañe ́ discovered that Mather measures are in fact the minimizers of a ”universal ” infinite dimensional linear programming problem. This fundamental result has many applications, one of the most important is to the estimates of the generic number of Mather measures. Mañe ́ obtained the first estimation of that sort by using finite dimensional approximations. Recently, we were able with Gonzalo Contreras to use this method of finite dimensional approximation in order to solve a conjecture of John Mather concerning the generic number of Mather measures for families of Lagrangian systems. In the present paper we obtain finer results in that direction by applying directly some classical tools of convex analysis to the infinite dimensional problem. We use a notion of countably rectifiable sets of finite codimension in Banach (and Frechet) spaces which may deserve independent interest. Résumé: En 1996, Ricardo Mañe ́ a découvert que les mesures de Mather peuvent être obtenues comme solutions d’un problème variationnel convexe ”universel ” de dimenion infinie. Ce résultat fondamental a de nombreuses applications, il permet par exemple d’estimer le nombre de mesures de Mather des systèmes génériques. Mañe ́ a obtenu la première estimation de ce type en utilisant une approximation par des problèmes variationnels de dimension finie. Nous avons récemment utilise ́ cette méthode avec Gonzalo Contreras pour résoudre une conjecture de John Mather sur le nombre générique de mesures minimisantes dans les familles de systèmes Lagrangians. Dans le présent article, on obtient des résultat plus fins dans cette direction en appliquant directement au problème de dimension infinie des méthodes classiques de l’analyse convexe. On étudie pour ceci une nouvelle notion d’ensembles rectifiables de codimension finie dans les espaces de Banach (ou de Frechet) qui est peut-être intéressante en elle même. ∗This is version 2, the first version was submitted in July 2008 1membre de ...