نبذة مختصرة : The paper is devoted to “uniform” reduction of smooth functions on 2-manifolds to canonical form near critical points of the functions by some coordinate changes in some neighborhoods of these points. A function 𝑓(𝑥, 𝑦) has a singularity of the type 𝐴𝑘, 𝐸6, or 𝐸8 at its critical point if, in some local coordinate system centered at this point, the Taylor series of the function has the form 𝑥2 +𝑦𝑘+1 +𝑅2,𝑘+1, 𝑥3 +𝑦4 +𝑅3,4, 𝑥3 +𝑦5 +𝑅3,5 respectively, where 𝑅𝑚,𝑛 stands for a sum of higher order terms, i.e., 𝑅𝑚,𝑛 = Σ︀𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗 where 𝑖/𝑚 + 𝑗/𝑛 > 1. In according to a result by V. I. Arnold (1972), these singularities are simple and can be reduced to the canonical form with 𝑅𝑚,𝑛 = 0 by a smooth coordinate change.For the singularity types 𝐴𝑘, 𝐸6, and 𝐸8, we explicitly construct such a coordinate change and estimate from below (in terms of 𝐶𝑟-norm of the function, where 𝑟 = 𝑘 + 3, 7, and 8 respectively) the maximal radius of a neighborhood in which the coordinate change is defined.Our coordinate change provides a “uniform” reduction to the canonical form in the sense that the radius of the neighborhood and the coordinate change we constructed in it (as well as all partial derivatives of the coordinate change) continuously depend on the function 𝑓 and its partial derivatives. ; Работа посвящена «равномерному» приведению гладких функций на двумерных многообразиях к каноническому виду вблизи критических точек этих функций. Функция 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет особенность типа 𝐴𝑘, 𝐸6 или 𝐸8 в своей критической точке, если в некоторых локальных координатах с центром в этой точке ряд Тейлора функции имеет вид 𝑥2+𝑦𝑘+1+𝑅2,𝑘+1, 𝑥3+𝑦4+𝑅3,4, 𝑥3+𝑦5+𝑅3,5 соответственно, где через 𝑅𝑚,𝑛 обозначена сумма мономов более высокого порядка, т.е. 𝑅𝑚,𝑛 =Σ︀𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗 , где 𝑖/𝑚 + 𝑗/𝑛 > 1. Согласно результату В.И. Арнольда (1972), эти особенности просты и гладкой заменой переменных приводятся к каноническому виду, в котором член 𝑅𝑚,𝑛 равен нулю.Для особенностей типов 𝐴𝑘, 𝐸6 и 𝐸8 мы явно строим такую замену и оцениваем снизу (через 𝐶𝑟-норму функции, где 𝑟 = 𝑘 + ...
Relation: https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1410/1029; Арнольд В. И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек; группы Вейля 𝐴𝑘,𝐷𝑘,𝐸𝑘 и лагранжевы особенности // Функц. анализ и его прил. 1972.; Т. 6, № 4. С. 3–25. Engl. version: Arnol’d V. I. Normal forms for functions near degenerate; critical points, theWeyl groups of 𝐴𝑘,𝐷𝑘,𝐸𝑘 and Lagrangian singularities // Funct. Anal. Appl.; Vol. 6, № 4. P. 254–272.; Brodersen H. M-t topologically stable mappings are uniformly stable // Math. Scand. 1983.; Vol. 52. P. 61–68.; Kudryavtseva E. A., Lakshtanov E. L. Classification of singularities and bifurcations of critical; points of even functions // In: Topological Methods in the Theory of Integrable Systems. Eds.; Bolsinov, A.V., Fomenko, A.T., and Oshemkov, A.A.; Cambridge Scientific Publishers, Springer.; P. 173–214. http://arxiv.org/abs/1212.4302.; Кудрявцева Е. А. Равномерная лемма Морса и критерий изотопности функций Морса; на поверхностях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. I Матем. Мех. 2009. № 4, С. 13-22 Engl.; version: Kudryavtseva E. A. Uniform Morse lemma and isotope Morse functions on surfaces //; Moscow Univ. Math. Bull. 2009. Vol. 64, no. 4. P. 150–158.; Кудрявцева Е. А., Пермяков Д. А. Оснащенные функции Морса на поверхностях // Матем.; Сб. 2010. Т. 201, № 4. С. 501-567. Engl. version: Kudryavtseva E. A., Permyakov D. A. Framed; Morse functions on surfaces // Sbornik Math. 2010. Vol. 201, no. 4. P. 501–567.; Кудрявцева Е. А. Топология пространств функций Морса на поверхностях // Матем. За-; метки. 2012. Т. 92, № 2. С. 241-261. Engl. version: Kudryavtseva E. A. The Topology of; Spaces of Morse Functions on Surfaces // Math. Notes. 2012. Vol. 92, no. 2. P. 219–236.; http://arxiv.org/abs/1104.4792.; Кудрявцева Е. А. Специальные оснащенные функции Морса на поверхностях // Вестн.; Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4, С. 14–20. Engl. version: Kudryavtseva E. A. Special; framed Morse functions on surfaces // Moscow Univ. Math. Bull. 2012. Vol. 67, no. 4. P. 151–; http://arxiv.org/abs/1106.3116.; Кудрявцева Е.А. О гомотопическом типе пространств функций Морса на поверхностях //; Матем. сб. 2013. Т. 204, № 1. С. 79-118 Engl. version: Kudryavtseva E. A. On the homotopy; type of spaces of Morse functions on surfaces // Sb. Math. 2013. Vol. 204, no. 1. P. 75–113.; http://arxiv.org/abs/1104.4796.; Кудрявцева Е. А. Топология пространств функций с заданными особенностями на поверх-; ностях // Докл. Акад. Наук 2016. Т. 468, № 1. С. 139-142. Engl. version: Kudryavtseva E. A.; Topology of the spaces of functions with prescribed singularities on surfaces // Doklady Math.; Vol. 93, no. 3. P. 264–266.; Kudryavtseva E. A. Topology of the spaces of functions and gradient-like flows with prescribed; singularities on surfaces // Arxiv. 2021. http://arxiv.org/abs/2106.03017.; Mather J. N. Infinitesimal stability implies stability // Ann. of Math. 1969. Vol. 89. P. 254–291.; Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тейлора в окрестности; критической точки конечного типа // Функц. анализ, 1968. Т. 2, № 4. С. 63-69. Engl.; version: Samoilenko A. M. The equivalence of a smooth function to a Taylor polynomial in the; neighborhood of a finite-type critical point // Funct. Anal. Appl. 1968. Vol. 2, no. 4. P. 318–323.; Sergeraert F. Un th´eor`eme de fonctions implicites sur certains espaces de Fr´echet et quelques; applications // Annales scientifiques de l’´E.N.S. 4e s´erie. 1972. Vol. 5, no. 4. P. 599–660.; Tougeron J. C. Ideaux de fonctions differentiables. I // Ann. Inst. Fourier. 1968. Vol. 18, no. 1.; P. 177–240.; https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1410
Processing Request
No Comments.