Simetrías en sistemas mecánicos discretos forzados y estructuras de Dirac

La Mecánica Discreta es una teoría inspirada en la Mecánica Clásica en la que el tiempo solo toma valores discretos. Principalmente desarrollada a partir de la formulación Lagrangiana, sus orígenes (en la versión que usaremos) se remontan a trabajos de la teoría de control óptimo tales como Jordan y Polak (1964), Hwang y Fan (1967) y Cadzow (1970); y a algunos ya en Mecánica incluyendo Cadzow (1973) y Logan (1973). En este contexto, las ecuaciones de movimiento que describen la dinámica del sistema resultan ser ecuaciones en diferencias (y no diferenciales como las de un sistema clásico), cuyas soluciones son más fáciles de hallar. Además, puede probarse que los flujos de los sistemas discretos en muchos casos preservan el mismo tipo de magnitudes que las de los sistemas continuos. Si un sistema discreto aproxima (en algún sentido) a un sistema continuo, las trayectorias del primero pueden usarse para aproximar a las del segundo, dando lugar a los llamados integradores variacionales, que tienden a presentar mejores propiedades cualitativas que los integradores genéricos mencionados anteriormente. Una referencia clásica en estos temas es Marsden y West (2001). En esta tesis estudiaremos propiedades y características de ciertos sistemas a tiempo discreto que, filosóficamente, aproximan a sistemas estudiados en la Mecánica Clásica. En particular, nos van a interesar los sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos forzados y algunas posibles generalizaciones. Los sistemas forzados son muy comunes al modelar sistemas físicos del mundo real, en particular, sistemas mecánicos. Estas fuerzas pueden originarse por fricción, disipación, etc. Como en el caso de los sistemas Lagrangianos, la necesidad de tener integradores eficientes ha llevado a estudiar sistemas mecánicos discretos forzados. Tal como sucede en el mundo continuo, es bien conocido que los sistemas Lagrangianos discretos (sin fuerzas) presentan magnitudes conservadas: por ejemplo, su flujo preserva una estructura simpléctica asociada al Lagrangiano discreto, y ...