Quelques contributions à l'étude de l'universalité des zéros de fonctions trigonométriques aléatoires ; Some contributions to the universality of zeros of random trigonometric functions

We study in this thesis the asymptotic behavior (almost-sure, in distribution, on average) of the random variable counting the number of zeros of random trigonometric functions on a given interval. We specifically investigate the universality phenomenon, i.e. examine if this behavior does or does not depend on the law of the random coefficients, their correlation or the influence of the basis functions. In order to achieve this, we work under the framework of dependent stationary Gaussian processes, for which the dependency can be translated in terms of spectral measure. We show that the nature of this latter has a great influence on the asymptotic behavior for the number of zeros and can even - under specific assumptions - lead to universal results as well as non-universal ones. Using tools from stochastic analysis such that Kac-Rice formula or extending some techniques drawn from Salem and Zygmund’s work in the 1950s, we exhibit global universal asymptotics, on average and almost-sure. ; On s’intéresse dans cette thèse au comportement asymptotique (presque-sûr, en loi, en moyenne) de la variable aléatoire comptant le nombre de zéros de fonctions trigonométriques sur un intervalle donné. On examine en outre si l’on a un phénomène d’universalité, c’est-à-dire si ce nombre dépend ou non de la loi des coefficients, de leur corrélation, ou encore des fonctions de base. Pour cela, on se place dans le cadre de coefficients gaussiens stationnaires dépendants, pour lesquels la dépendance s’exprime à travers la mesure spectrale. On montre alors que la nature de cette dernière influe grandement sur le comportement asymptotique du nombre de zéros et peut même, sous certaines hypothèses, aboutir tant à des résultats d’universalité qu’à des phénomènes non-universels. A l’aide d’outils d’analyse stochastique tels que la formule de Kac-Rice ou encore l’extension des techniques employées par Salem et Zygmund dans les années 1950, on exhibe des asymptotiques universelles globales en moyenne et presque-sûres.