Existência de minimizantes relaxados e fenómeno de Lavrentiev

Doutoramento em Matemática ; Neste trabalho prova-se a existência de minimizantes relaxados em problemas de controlo óptimo não convexos usando técnicas de compactificação. Faz-se a extensão do exemplo de Manià a dimensão dois, obtendo-se uma classe de problemas variacionais em 2D que apresentam Fenómeno de Lavrentiev. Prova-se que o fenómeno persiste a certas perturbações, obtendo- -se assim uma classe de funcionais cujos Lagrangianos são coercivos e convexos em relação ao gradiente. Adicionalmente, apresentam-se exemplos de problemas do cálculo das variações com diferentes condições de fronteira, e em diferentes tipos de domínios (incluindo domínios com fronteira fractal), que exibem Fenómeno de Lavrentiev. ; The existence of relaxed minimizers of nonconvex optimal control problems is proved in this work using compactification techniques. The example of Manià is extended to two dimensions, thus obtaining 2D examples which exhibit the Lavrentiev Phenomenon. The persistence of the phenomenon for certain perturbations on the integrands is proved, thus arriving to a class of functionals whose Lagrangians are coercive and convex with respect to gradient, and which exhibit the Lavrentiev Phenomenon. Examples for the problems of the calculus of variations with different types of boundary conditions and different types of domains (including domains of fractal boundary), which exhibit the Lavrentiev Phenomenon, are also constructed.