$[\text{Perm}_n]$ via $\text{QSym}_n^+$

International audience ; We give a combinatorial interpretation for the expansion of the cohomology class of the permutahedral variety $Perm_n$ in Schubert classes. This requires understanding Schubert polynomials modulo the ideal $QSym_n^+$ of positive degree quasisymmetric polynomials. We introduce a new basis for the polynomial ring that we call forest polynomials, together with a bijective correspondence. Both constructions are of independent interest. ; Nous donnons une interprétation combinatoire au développement de la classe de cohomologie de la variété permutaédrale Permn sur les classes de Schubert. Pour cela, il faut comprendre la réduction des polynômes de Schubert modulo l’idéal $QSym_n^+$ des polynômes quasi-symétriques de degré positif. Nous introduisons une nouvelle base pour l’anneau de polynômes que nous appelons polynômes forestiers, ainsi qu’une correspondance bijective, toutes deux ayant un intérêt pour elles-mêmes.