Nonlinear elliptic equations with nonsmooth potential : variational and topological methods

Doutoramento em Matemática ; Nesta tese de doutoramento, estudamos a existência e a multiplicidade de soluções para algumas classes de equações elípticas não lineares com potencial não suave. Os resultados originais foram obtidos, utilizando métodos variacionais e da teoria de grau. A nossa abordagem variacional é baseada em descobertas recentes na teoria não suave (nonsmooth) dos pontos críticos. A teoria de grau é aplicada a determinadas perturbações multívocas de operadores de tipo monótono (operadores do tipo (S)+ ). O primeiro problema que consideramos é um problema de valor próprio semi-linear com potencial não suave (ver Capítulo 3). O resultado de existência obtido estende para uma versão não suave, e sob hipóteses de crescimento mais fracas, um resultado obtido por Rabinowitz para potenciais suaves. Mais, sob condições no potencial que permitem ressonância, quer em zero, quer no infinito, provamos um resultado de multiplicidade. Para um problema elíptico não linear derivado do p-Laplaciano e com um potencial não suave (ver Capítulo 4), estabelecemos a existência de, pelo menos, três soluções suaves, não triviais e distintas, sendo duas delas de sinal constante (uma positiva e uma negativa). Problemas semi-lineares de Neumann, que são duplamente ressonantes na origem, relativamente a qualquer intervalo espectral [λk,λk+1], são estudados no Capítulo 5. O resultado de multiplicidade obtido para um potencial não suave estende resultados existentes para o caso do potencial suave, nos quais a ressonância é completa relativamente a λk, mas incompleta relativamente a λk+1. Respondemos afirmativamente à questão aberta em relação à validade do resultado de multiplicidade, quando ocorre, também, ressonância completa relativamente a λk+1 (situação de dupla ressonância). A última parte da tese (Capítulo 6) é dedicada ao estudo de uma classe de problemas de Neumann, em que o operador diferencial não é homogéneo, nem variacional. Portanto, os métodos mini-max da teoria dos pontos críticos (suave e não-suave) não podem ...