Hartree-Fock-Bogoliubov model a theorical and numerical perspective ; Modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov: une perspective théorique et numérique

This work is devoted to the theoretical and numerical study of Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) theory for attractive quantum systems, which is one of the main methods in nuclear physics. We first present the model and its main properties, and then explain how to discretize it. We prove some convergence results, in particular for the simple fixed point algorithm (sometimes called Roothaan). We show that it converges, or oscillates between two states, none of them being a solution. This generalizes to the HFB case previous results of Cancès and Le Bris for the simpler Hartree-Fock model in the repulsive case. Following these authors, we also propose a relaxed constraint algorithm for which convergence is guaranteed. In the last part of the thesis, we illustrate the behavior of these algorithms by some numerical experiments. We first consider a system where the particles only interact through the Newton potential. Our numerical results show that the pairing matrix never vanishes, a fact that has not yet been proved rigorously. We then study a very simplified model for protons and neutrons in a nucleus. ; Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique et numérique du modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) pour les systèmes quantiques attractifs, qui est abondamment utilisé en physique nucléaire. Après avoir présenté le modèle et ses principales caractéristiques, nous expliquons comment le discrétiser et nous montrons des résultats de convergence. Nous examinons tout particulièrement l'algorithme de point fixe (parfois appelé Roothaan) et montrons qu'il converge ou alors oscille entre deux états dont aucun n'est solution du problème. Ceci généralise au cadre HFB des résultats de Cancès et Le Bris pour le modèle plus simple de Hartree-Fock dans le cas répulsif. Suivant ces mêmes auteurs, nous proposons un algorithme basé sur la contrainte relâchée et pour lequel la convergence est garantie. Dans la dernière partie de la thèse, nous illustrons le comportement de ces algorithmes par des simulations numériques pour ...