Contrôle optimal des équations d'évolution et ses applications ; Optimal control of evolution equations and its applications

Dans cette thèse, tout d’abord , nous faisons l’Analyse Mathématique du modèle exact du chauffage radiatif d’un corps semi-transparent Ω par une source radiative noire qui l’entoure. Il s’agit donc d’étudier le couplage d’un système d’Equations de Transfert Radiatif avec condition au bord de réflectivité indépendantes avec une équation de conduction de la chaleur non linéaire avec condition limite non linéaire de type Robin. Nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution et nous démontrons des bornes uniformes sur la solution et les intensités radiatives dans chaque bande de longueurs d’ondes pour laquelle le corps est semi-transparent, en fonction de bornes sur les données. Deuxièmement, nous considérons le problème du contrôle optimal de la température absolue à l’intérieur du corps semi-transparent Ω en agissant sur la température absolue de la source radiative noire qui l’entoure. À cet égard, nous introduisons la fonctionnelle coût appropriée et l’ensemble des contrôles admissibles T_S, pour lesquels nous prouvons l’existence de contrôles optimaux. En introduisant l’espace des états et l’équation d’état, une condition nécessaire de premier ordre pour qu’un contrôle T_S : t→T_S(t) soit optimal, est alors dérivée sous la forme d’une inéquation variationnelle en utilisant le théorème des fonctions implicites et le problème adjoint. Ensuite, nous considérons le problème de l’existence et de l’unicité d’une solution faible des équations de la thermoviscoélasticité dans une formulation mixte de type Hellinger-Reissner, la nouveauté par rapport au travail de M.E. Rognes et R. Winther (M3AS,2010) étant ici l’apparition de la viscosité dans certains coefficients de l’équation constitutive, viscosité qui dépend dans ce contexte de la température absolue T(x, t) et donc en particulier du temps t. Enfin, nous considérons dans ce cadre le problème du contrôle optimal de la déformation du corps semi-transparent Ω, en agissant sur la température absolue de la source radiative noire qui l’entoure. Nous prouvons ...