On the application of a two-level error estimator to the integral fractional Laplacian ; Anwendung eines two-level Fehlerschätzers für den fraktionalen Laplace Operator

Arbeit an der Bibliothek noch nicht eingelangt - Daten nicht geprüft ; Abweichender Titel nach Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers ; In dieser Arbeit betrachten wir, ähnlich wie in [PRS20], einen speziellen a-posteriori Fehlerschätzer, den sogenannten Two-Level Fehlerschätzer. In [PRS20] wurde dieser Fehlerschätzer im Hinblick auf adaptive Randelementmethoden (BEM), insbesondere für die Poisson- und Helmholtzgleichung, untersucht. In dieser Arbeit analysieren wir die Anwendung des Two-Level Fehlerschätzers im Hinblick auf eine adaptive Finite-Elemente-Methode (FEM) zur Lösung einer P^1 -Diskretisierung der Integralversion des fraktionalen Laplaceoperators (−∆)^s , 0 < s < 1. In der mathematischen Modellbildung erfreuen sich fraktionale Differentialoperatoren immer größer werdender Beliebtheit. Mit einer steigenden Anzahl von fraktionalen Differentialgleichungen in mathematischen Modellen werden auch effiziente Methoden zur numerischen Lösung solcher Gleichungen immer gefragter.In [FMP21] wurde bereits ein residual-basierter Fehlerschätzer zur Behandlung einer P^1 -Diskretisierung des fraktionalen Laplaceoperators mittels adaptiver FEM vorgestellt und analysiert. Die numerische Auswertung des residualen Fehlerschätzers ist jedoch aufwendig und erfordert viel Rechenzeit. In dieser Arbeit zeigen wir, dass der in vielen Fällen leichter auszwertende Two-Level Fehlerschätzer eine brauchbare Alternative zum residualen Fehlerschätzer ist. Ein Hauptresultat dieser Arbeit ist, dass, unter gewissen Voraussetzungen, die Verwendung des Two-Level Fehlerschäters zur adaptiven Lösung einer P^1 -Diskretisierung des fraktionalen Laplaceoperators auf die linearer Konvergenz des dabei entstehenden FEM Fehlers führt. Das zweite Hauptresultat ist, dass der entstehende FEM Fehler bezüglich der Anzahl der Elemente der zugrundeliegenden Triangulierungen mit der bestmöglichen algebraischen Rate konvergiert. Wie in [PRS20] basieren die Hauptresultate auf Saturationsannahmen. Grob gesagt geht es dabei darum, dass wir gewisse ...