Fonctions L p-adiques de Rankin-Selberg aux points semistables ; Rankin-Selberg p-adic L functions at semistable points

A un couple de formes modulaires, on peut associer une fonction L complexe. Pour étudier cette fonction L complexe, on peut construire une fonction L p-adique interpolant les valeurs de la fonction L complexe, à un facteur près. Il peut cependant arriver que ce facteur s’annule. Dans ce cas, la fonction L p-adique s’annule, et on perd l’information sur la valeur de la fonction L complexe : c’est le phénomène des zéros triviaux. Conjecturalement, il devrait être possible de retrouver l’information sur la valeur de la fonction L complexe en considérant la dérivée cyclotomique de la fonction L p-adique. Dans cette thèse, on se placera dans le cas o`u une forme modulaire est semistable, tandis que l’autre est cristalline. On donnera la formule d’interpolation entre la fonction L complexe et la fonction L p-adique, et on mettra en évidence les conditions pour qu’un zéro trivial apparaisse. Enfin, on montrera une formule donnant la dérivée cyclotomique de la fonction L p-adique en fonction de l’invariant L et de la fonction L complexe. ; We can associate a complex L-function to a couple of modular forms. To study this complex L-function, we can construct a p-adic L function which interpolates the values of the complex L-function, up to a multiplicative factor. It can happen that this factor vanishes. in this case, the p-adic L function vanishes, and we lose the information on the complex L-function’s value : this is the trivial zero phenomenon. Conjecturally, it should be possible to recover the information on the complex L-function’s value through the p-adic L-functions’s cyclotomic derivative. In this thesis, we consider the case where one modular form is semistable, while the other one is cristalline. We give the interpolation formula between the complex L-function and the p-adic L-function, and we highlight the conditions needed for a trivial zero to appear. finally, we show a formula giving the p-adic L-function’s cyclotomic derivative as a function of the L invariant and the complex L-function.