Une variation sur les propriétés magiques de modèles de Boltzmann pour l'écoulement microscopique et macroscopique

This manuscript is devoted to an investigation of various aspects of modelization with the approach of Lattice Boltzmann Equation - hydrodynamic and anisotropic advection-diffusion equations, directional finite-difference recurrence equations (equivalents to LBE schemes) and the links between their solutions and infinite Chapman-Enskog expansion, consistent models for microscopic and macroscopic flow and their coupling in porous media, two phase immiscible fluids and free interface flow, water behaviour in variably saturated soil combining theoretical and numerical tools. Argument of symmetry with respect to underlying velocity set guides our analysis beyond the second order. We find that certain magic combinations of relaxation parameters, related to hydrodynamic and kinetic collision modes, take a control over the localisation of boundaries and interfaces, impact the stability and truncation errors of the model, and, more generally, determine the exact parametrization of the modelled equations by the governing non-dimensional physical numbers, at least in stationary regime. Two-relaxations-time model, with one relaxation parameter for all symmetric and another one for all anti-symmetric collision modes, play a distinctive role in our study. / Ce manuscrit est consacré à l'étude de divers aspects de la modélisation par la méthode de Boltzmann sur réseau les équations hydrodynamiques et d'advection diffusion anisotrope, les équations des différences-finies de récurrence (équivalentes au schéma de Boltzmann) et les liens entre leurs solutions exactes et la série infinie de Chapman-Enskog, les modèles cohérents pour un écoulement microscopique et macroscopique et leur couplage dans un milieux poreux, les fluides immiscibles à deux phases et à l'interface libre, l'écoulement d'eau dans un sol variablement saturé, en combinant approches analytiques et simulations numériques. Guidé par un argument simple de symétrie, notre analyse a pu être poursuivie au delà du second ordre requis pour l'obtention des équations macroscopiques. Cela nous a permis de découvrir que certaines combinaisons magiques de paramètres hydrodynamiques et cinétiques (libres) non seulement contrôlent la localisation des parois et des interfaces, mais influencent également la stabilité du modèle LBE et ses erreurs de troncature et, plus généralement, déterminent la paramétrisation exacte des équations modélisées par les nombres physiques sans dimension, au moins dans en régime stationnaire. Le modèle à deux temps de relaxation, un pour tous les modes symétriques de l'opérateur de collision et un autre pour tous ces modes antisymétriques, joue un rôle central dans nos études et permet de trouver des élèments de réponse à ces questions et à d'autres semblables.